Формула квадратной площади. Как найти площадь квадрата? Формулы площади трапеции

Кто-то из нас математику в школе просто прогуливал, кто-то проболел, а кто-то подзабыл за давностью школьных лет, но так или иначе, рано или поздно возникает вопрос: "Как найти площадь квадрата?"

Самая основная формула того, как найти площадь квадрата:

S=a 2 , где:

• S - площадь квадрата,
• а - сторона квадрата.

Так как у квадрата все стороны равны, то площадь квадрата - это сторона в квадрате. Например, нам известно, что длина стороны квадрата - 4 см. Тогда по формуле S=a 2 получится: S=4 2 =16 (см 2).

Ещё один способ нахождения площади квадрата - по периметру. Периметр квадрата (Р) равен сумме всех сторон квадрата, а так как у квадрата все стороны равны, то имеет следующую формулу:

Р=4а , где:

• Р - периметр квадрата,
• а - сторона квадрата.

Таким образом, если нам известен периметр квадрата, мы можем вычислить его площадь по следующей формуле:

Разделив периметр на 4, мы получим длину одной стороны квадрата, после чего по первой формуле легко вычислить площадь.

Также можно найти площадь квадрата, если известна длина его диагонали. Особенности квадрата, как геометрической фигуры таковы, что его диагонали (отрезок, проведённые между несмежными вершинами квадрата) делят квадрат на два прямоугольных и равнобедренных треугольника. Прямоугольный треугольник - это такой треугольник, в составе которого есть прямой угол, а нам известно, что у квадрата все углы прямые. Равнобедренный треугольник - это такой треугольник, у которого две стороны равны. Диагонали квадрата являются одновременно и биссектрисами его углов. Биссектриса - это луч, которая делит угол пополам.

По теореме Пифагора известно, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

с 2 = b 2 + a 2

Но так как у нас катеты равны, то формула будет иметь следующий вид:

с 2 = а 2 + а 2 = 2а 2

В нашем случае гипотенуза - это диагональ квадрата (с = d), а катеты - сторона (b,е = a). Имеем:

Из вышеприведённой формулы можно вывести формулу нахождения катета (стороны квадрата):

Подставляем данное значение в первую формулу:

Сокращаем значения корня и второй степени и получаем формулу:

Например, если диагональ равна 8 см., то площадь квадрата равна:

S=8 2 /2 = 32 (см.).

Ещё одна формула нахождения площади квадрата - по радиусу вписанной (r) и описанной (R) окружности.

Вписанная окружность - это окружность, которая касается середины каждой стороны квадрата и имеет радиус, равный половине середины стороны:

Описанная окружность – это такая окружность, которая касается вершины каждого угла квадрата:

Таким образом, для нахождения площади квадрата при помощи радиуса вписанной окружности получаем следующую формулу:

S=(2r) 2 =2 2 *r 2 =4r 2

Например, если радиус вписанной окружности 3 см., то

S=4*3 2 =4*9=36 (см.).

Для нахождения площади квадрата при помощи радиуса описанной окружности получаем такую формулу:

S=d 2 /2=2R 2 /2=(2 2 *R 2)/2=2R 2

Таким образом, если радиус описанной окружности равен 4, то по формуле:

S=2*4 2 =2*16=32 (см).

Вот все способы того, как найти площадь квадрата, формулы вы также имели возможность вывести сами. Успешных Вам решений!

Площадь многоугольника

Понятие площади многоугольника будем связывать с такой геометрической фигурой, как квадрат. За единицу площади многоугольника будем принимать площадь квадрата со стороной, равной единице. Введем два основных свойства, для понятия площади многоугольника.

Свойство 1: Для равных многоугольников значения их площадей равны.

Свойство 2: Любой многоугольник можно разбить на несколько многоугольников. При этом площадь исходного многоугольника равняется сумме площадей всех многоугольников, на которые разбит данный многоугольник.

Площадь квадрата

Теорема 1

Площадь квадрата определяется как квадрат длины его стороны.

где $a$ -- длина стороны квадрата.

Доказательство.

Для доказательства нам необходимо рассмотреть три случая.

Теорема доказана.

Площадь прямоугольника

Теорема 2

Площадь прямоугольника определяется произведением длин его смежных сторон.

Математически это можно записать следующим образом

Доказательство.

Пусть нам дан прямоугольник $ABCD$, у которого $AB=b,\ AD=a$. Достроим его до квадрата $APRV$, длина стороны которого равняется $a+b$ (рис. 3).

Рисунок 3.

По второму свойству площадей имеем

\ \ \

По теореме 1

\ \

Теорема доказана.

Пример задач

Пример 1

Найти площадь прямоугольника со сторонами $5$ и $3$.

Площадь квадрата – базовое понятие, благодаря которому можно без проблем рассчитать расход материалов для ремонта, высчитать верные габариты мебели при замерах помещения, понять, сколько нужно удобрения и семян для высадки важных культур на огромном поле.

Приведенными формулами площади квадрата пользуются и строители, и мебельные производители, и представители сельского хозяйства.

Что такое квадрат?

Квадрат – правильный прямоугольник с равными сторонами. Каждый угол фигуры равен 90⁰. Квадрат относится к простым геометрическим фигурам, расположенным на плоскости. Найти площадь квадрата можно несколькими способами вычислений: по диагонали, по стороне, по периметру.

Формулы площади, примеры расчетов

Площадь простой фигуры – положительная величина, обладающая перечисленными ниже свойствами:

• Равные геометрические фигуры обладают равными площадями.
• В случае, если простая фигура разделена на несколько частей, ее общая площадь будет всегда равна сумме площадей всех элементов.
• Площадь квадрата всегда равна единице, если его сторона соответствует единице измерения.

По стороне

В геометрии площадь всегда обозначается как S, а маленькие латинские буквы (например, а и b) – это стороны простой фигуры.

В основе вычисления площади любого прямоугольника по стороне лежит простая формула: S = ab , но в случае с квадратом формулу преобразовывают в S = а² , так как две стороны одинаковы по длине.

Отсюда следует утверждение, что площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Пример 1: Дан квадрат, сторона которого равна 5 см. Чему равна площадь?
Решение: S = 5² = 25 см

Пример 2: Сторона фигуры 3 см. Найдите площадь.
Решение: S = 3² = 9 см

По диагонали

Еще один вариант найти площадь – это произвести вычисления относительно диагонали фигуры (d). Правда, для этого нужно сперва найти длину самой диагонали. Известно, что диагональ делит квадрат на два равнобедренных треугольника. А значит, вычисления можно провести по известной теореме Пифагора, где катетами будут выступать стороны квадрата, а гипотенузой – собственно диагональ.

Расчет площади по диагонали производится по принципу: площадь квадрата равна квадрату длины диагонали (вычисленной по теореме Пифагора) и поделенному на два.

Пример: Дан квадрат, диагональ которого составляет 10 см. Как вычислить площадь?
Решение: Согласно формуле, приведенной выше, вычисления производятся так: S = 10²/2 = 100/2 = 50 cм²

По периметру

Периметр – сумма всех длин сторон квадрата. Обозначается периметр латинской буквой Р. Беря во внимание определение квадрата, получаем универсальную формулу расчета периметра для равностороннего четырехугольника: Р = 4а . То есть, периметр квадрата равен длине стороны, помноженной на четыре.

Вычисления площади квадрата относительно суммы всех сторон необходимо в том случае, если в задаче задано только значение периметра. Зная формулу вычисления периметра, очень легко найти площадь.

Если Р = 4а , то а = Р/4 . Далее уже нужно использовать формулу расчета площади по стороне.

Пример: Пусть будет дан квадрат с периметром 100 мм. Какова площадь?
Решение: Сторона квадрата будет равна 100/4 = 25 мм. Ну, а площадь квадрата дальше вычисляется по формуле, где площадь квадрата равна квадрату сторон. То есть, S = 25² = 625 мм²

Площадь квадрата вписанного в окружность

Этот вариант используется как следствие формулы, полученной ранее (расчет по диагонали). Согласно математическим данным, диаметр круга как раз и будет равен диагонали квадрата. Поэтому, чтобы оперативно рассчитать площадь равностороннего четырехугольника, достаточно будет знать диаметр круга. А далее используется уже известная формула: S = d²/2

Типовая задача: например, дана окружность с диагональю 8 см и в нее вписан квадрат. Какая площадь четырехугольника?
Правильное решение: S = 8²/2 = 64/2 = 32 cм²

Видео урок

О том, что такое квадрат, многие помнят из школьного курса. Этот четырехугольник, который является правильным, имеет абсолютно равные углы и стороны. Оглянувшись вокруг, можно заметить, что нас окружает множество квадратов. Каждый день мы сталкиваемся с ними, и порой возникает необходимость найти площадь и периметр этой геометрической фигуры. Вычисление этих значений не принесет труда, если уделить несколько минут времени для просмотра данного видео урока, объясняющего простые правила проведения расчетов.

Обучающее видео “Как найти площадь и периметр квадрата”

Что необходимо знать о квадрате?

Прежде чем приступать к проведению вычислений, необходимо знать некоторые важные сведения об этой фигуре, среди которых:

• все стороны квадрата равны;
• все углы квадрата прямые;
• площадь квадрата – это способ исчисления того, как много места занимает фигура в двухмерном пространстве;
• двухмерное пространство – это лист бумаги или экран компьютера, где нарисован квадрат;
• периметр не является индикатором наполненности фигуры, однако позволяет работать с его сторонами;
• периметр – это сумма всех сторон квадрата;
• подсчитывая периметр, мы оперируем одномерным пространством, что означает фиксацию результата в метрах, а не метрах квадратных (площадь).

Как найти площадь квадрата?

Вычисление площади данной фигуры можно просто и легко объяснить на примере:

• предположим, что сторона квадрата равна 8 метрам;
• для подсчета площади любого прямоугольника нужно умножить значение одной его стороны на другую (8 х 8 = 64);
• поскольку мы умножаем метры на метры, то в результате получаем квадратные метры (м2).

Как найти периметр квадрата?

Зная, что все стороны данного прямоугольника равны, необходимо сделать следующие манипуляции, чтобы вычислить его периметр:

• сложите все четыре стороны квадрата (8 + 8 + 8 + 8 = 32);
• полученное значение будет периметром квадрата, зафиксированным в метрах.

Все формулы и исчисления, приведенные в рамках данной статьи, применимы для любого прямоугольника. Важно помнить, что когда речь идет о других прямоугольниках, которые не являются правильными, значение сторон будет разным, например 4 и 8 метров. Это означает, что для нахождения площади такого прямоугольника необходимо будет умножать разные по значению стороны фигуры, а не одинаковые.

Необходимо помнить и то, что площадь измеряется в квадратных, а периметр в простых метрах. Если периметр нарисовать в виде одной длинной линии, то его значение не изменится, что говорит о том, что исчисления проводятся в одномерном пространстве.

Площадь измеряется в двухмерном пространстве, о чем говорят квадратные метры, которые мы получаем, умножив метры на метры. Площадь является индикатором наполненности геометрической фигуры, и говорит нам о том, сколько воображаемого покрытия необходимо для того чтобы заполнить квадрат или другой прямоугольник.

Простые объяснения видео урока позволят быстро вычислить площадь и периметр не только квадрата, но и любого прямоугольника. Данные знания школьного курса будут полезны во время ремонта дома или на садовом участке.

Формула площади необходима для определения площадь фигуры, которая является вещественнозначной функцией, определённой на некотором классе фигур евклидовой плоскости и удовлетворяющая 4м условиям:

1. Положительность — Площадь не может быть меньше нуля;
2. Нормировка — квадрат со стороной единица имеет площадь 1;
3. Конгруэнтность — конгруэнтные фигуры имеют равную площадь;
4. Аддитивность — площадь объединения 2х фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей этих фигур.