Взаимное расположение прямой и плоскости рисунок. Взаимное расположение точки, прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная

Расположение

Признак: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

1. если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

2. если одна из 2х прямых параллельна данной, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ

Расположение

1. плоскости имеют хотя бы 1 общую точку, т.е. пересекаются по прямой

2. плоскости не пересекаются, т.е. не имеют ни 1 общей точки, в этом случае они наз параллельными.

признак

если 2 пересекающиеся прямые 1 плоскости соответственно параллельны 2 прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Св-во

1. если 2 параллельные плоскости пересечены 3, то линии их пересечения параллельны

2. отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.

Прямые наз перпендиулярными , если они пересекаются под <90.

Лемма: если 1 из 2 параллельных прямых перпендикулярна к 3й прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Прямая наз перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой в этой плоскости.

Теорема: если 1 их 2х параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Теорема: если 2 прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Признак

Если прямая перпендикулярна к 2м пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ

Построим плоскость и т.А, не принадлежащ плоскости. Их т.А проведем прямую, перпендик плоскости. Точку пересечения прямой с плоскостью обознач Н. Отрезок АН – перпендикуляр, проведенныйиз т.А к плоскости. Т.Н – основание перпендикуляра. Озьмем в плоскости т.М, не совпадающую с Н. Отрезок АМ – наклонная, проведенная из т.А к плоскости. М – основание наклонной. Отрезок МН – проекция наклонной на плоскость. Перпендикуляр АН – расстояние от т.А до плоскости. Любое расстояние – это часть перпендикуляра.

Теорема о 3 перпендикулярах:

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ

Углом между прямой и плоскостью наз угол между этой прямой и ее проекцией на плоскости.

ДВУГРАННЫЙ УГОЛ. УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ

Двугранным углом наз фигура, образованная прямой и 2 полуплоскостями с общей границей а, не принадлеж одной плоскости.

Граница а – ребро двугранного угла. Полуплоскости – грани двугран угла. Для того, чтобы измерить двугранный угол. Нужно построить внутри него линейный угол. Отметим на ребре двугран угла какую-нибудь точку и в каждой грани из этой точки проведем луч, перпендикулярно к ребру. Образованный этими лучами угол наз линейным глом двугран угла. Их внутри двугран угла может быть бесконечно много. Все они имеют одинак величину.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

Две пересекающиеся плоскости наз перпендикулярными, если угол между ними равен 90.

Признак:

Если 1 из 2х плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

МНОГОГРАННИКИ

Многогранник – поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. Грани – многоугольники, из которых составлены многогранники. Ребра – стороны граней. Вершины – концы ребер. Диагональю многогранника наз отрезок, соединяющий 2 вершины, не принадлежащие 1 грани. Плоскость, по обе стороны от которой имеются точки многогранника, наз. секущй плоскостью. Общая часть многогранника и секущей площади наз сечением многогранника. Многогранники бывают выпуклые и вогнутые. Многогранник наз выпуклым , если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани (тетраэдр, параллепипед, октаэдр). В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360.

ПРИЗМА

Многогранник, составленный из 2х равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях и п - параллелограммов наз призмой.

Многоугольники А1А2..А(п) и В1В2..В(п) – основания призмы . А1А2В2В1…-параллелограмы , А(п)А1В1В(п) –боковые грани. Отрезки А1В1, А2В2..А(п)В(п) – боковые ребра. В зависимости от многоугольника, лежащего в основании призмы, призма наз п-угольной. Перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания к плоскости другого основания наз высотой. Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основанию, то призма – прямая , а если не перпендикулярны – то наклонная. Высота прямой призмы равна длине ее бокового ребра. Прямая призманаз правильной , если ее основание – правильные многоугольники, все боковые грани – равные прямоугольники.

ПАРАЛЛЕПИПЕД

АВСД//А1В1С1Д1, АА1//ВВ1//СС1//ДД1, АА1=ВВ1=СС1=ДД1 (по св-ву параллельных плоскостей)

Параллепипед состоит из 6 параллелограммов. Параллелограммы наз гранями. АВСД и А1В1С1Д1 – основания, остальные грани наз боковыми. Точки А В С Д А1 В1 С1 Д1 –вершины. Отрезки, соединяющие вершины – ребра. АА1, ВВ1, СС1, ДД1 – боковые ребра.

Диагональю параллепипеда – наз отрезок, соединяющий 2 вершины, не принадлежащие 1 грани.

Св-ва

1. противоположные грани параллепипеда параллельны и равны. 2. Диагонали параллепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

ПИРАМИДА

Рассмотрим многоугольник А1А2..А(п), точку Р, не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединим точку Р с вершинами многоугольника и получим п треугольников: РА1А2, РА2А3….РА(п)А1.

Многогранник, составленный из п-угольника и п-треугольников наз пирамидой. Многоугольник – основание. Треугольники – боковые грани. Р – вершина пирамиды. Отрезки А1Р, А2Р..А(п)Р – боковые ребра. В зависимости от многоугольника, лежащего в основании, пирамида наз п-угольной. Высотой пирамиды наз перпендикуляр, проведенный из вершины к плоскости основания. Пирамида наз правильной , если в ее основании лежит правильный многоугольник и высота попадает в центр основания. Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды.

УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА

Рассмотрим пирамиду РА1А2А3А(п). проведем секущую плоскость, параллельную основанию. Эта плоскость делит нашу пирамиду на 2 части: верхняя – пирамида, подобная данной, нижняя – усеченная пирамида. Боковая поверхность состоит из трапеции. Боковые ребра соединяют вершины оснований.

Теорема: площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ

Выпуклый многогранник наз правильным , если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и тоже число ребер. Примером правильного многогранника явл куб. Все его грани- равные квадраты, и в каждой вершине сходится 3 ребра.

Правильный тетраэдр составлен их 4 равносторонних треугольников. Каждая вершина – вершина 3 треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине 180.

Правильный октаэдр сост из 8 равносторонник треугольников. Каждая вершина – вершина 4 треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине =240

Правильный икосаэдр сост из 20 равносторонних треугольников. Каждая вершина – вершина 5 треугольник. Сумма плоских углов при каждой вершине 300.

Куб сост из 6 квадратов. Каждая вершина – вершина 3 квадратов. Сумма плоских углов при каждой вершине =270.

Правильный додекаэдр сост из 12 правильных пятиугольников. Каждая вершина – вершина 3 правильных пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине =324.

Других видов правильных многогранников нет.

ЦИЛИНДР

Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L и L1 наз цилиндром. Круги L и L1 наз основаниями цилиндра. Отрезки ММ1, АА1 – образующие. Образующие сост цилиндрическую или боковую поверхность цилиндра. Прямая, соед центры оснований О и О1 наз осью цилиндра. Длина образующей – высота цилиндра. Радиус основания (r) –радиус цилиндра.

Сечения цилиндра

Осевое проходит через ось и диаметр основания

Перпендикулярное к оси

Цилиндр – это тело вращения. Он получается вращением прямоугольника вокруг 1 из сторон.

КОНУС

Рассмотрим окружность (о;r) и прямую ОР перпендикулярную к плоскости этой окружности. Через каждую точку окружности L и т.Р проведем отрезки, их бесконечно много. Они образуют коническую поверхность и наз образующими.

Р- вершина , ОР – ось конической поверхности .

Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L наз конусом. Круг – основание конуса. Вершина конической поверхности – вершина конуса. Образующие коническую поверхность – образующие конуса. Коническая поверхность – боковая поверхность конуса. РО – ось конуса. Расстояние от Р до О – высота конуса. Конус – это тело вращения. Он получается вращением прямоуг треугольника вокруг катета.

Сечение конуса

Осевое сечение

Сечение перпендикулярное оси

СФЕРА И ШАР

Сферой наз поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Данная точка – центр сферы. Данной расстояние – радиус сферы.

Отрезок, соединяющ 2 точки сферы и проходящий через ее центр наз диаметром сферы.

Тело, ограниченное сферой наз шаром. Центр, радиус и диаметр сферы наз центром, радиусом и диаметром шара.

Сфера и шар –это тела вращения. Сфера получается вращением полуокружности вокруг диаметра, а шар получается вращением полукруга вокруг диаметра.

в прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром С(х(0), у(0), Z(0) имеет вид (х-х(0))(2)+(у-у(0))(2)+(z-z(0))(2)= R(2)

В планиметрии плоскость является одной из основных фигур, поэтому, очень важно иметь ясное представление о ней. Эта статья создана с целью раскрытия этой темы. Сначала дано понятие плоскости, ее графическое представление и показаны обозначения плоскостей. Далее плоскость рассматривается вместе с точкой, прямой или другой плоскостью, при этом возникают варианты из взаимного расположения в пространстве. Во втором и третьем и четвертом пункте статьи как раз разобраны все варианты взаимного расположения двух плоскостей, прямой и плоскости, а также точки и плоскости, приведены основные аксиомы и графические иллюстрации. В заключении даны основные способы задания плоскости в пространстве.

Навигация по странице.

Плоскость – основные понятия, обозначения и изображение.

Простейшими и основными геометрическими фигурами в трехмерном пространстве являются точка, прямая и плоскость. Мы уже имеем представление о точке и прямой на плоскости . Если поместить плоскость, на которой изображены точки и прямые, в трехмерное пространство, то мы получим точки и прямые в пространстве. Представление о плоскости в пространстве позволяет получить, к примеру, поверхность стола или стены. Однако, стол или стена имеют конечные размеры, а плоскость простирается за их границы в бесконечность.

Точки и прямые в пространстве обозначаются также как и на плоскости – большими и маленькими латинскими буквами соответственно. Например, точки А и Q , прямые а и d . Если заданы две точки, лежащие на прямой, то прямую можно обозначить двумя буквами, соответствующими этим точкам. К примеру, прямая АВ или ВА проходит через точки А и В . Плоскости принято обозначать маленькими греческими буквами, например, плоскости , или .

При решении задач возникает необходимость изображать плоскости на чертеже. Плоскость обычно изображают в виде параллелограмма или произвольной простой замкнутой области.

Плоскость обычно рассматривается вместе с точками, прямыми или другими плоскостями, при этом возникают различные варианты их взаимного расположения. Переходим к их описанию.

Взаимное расположение плоскости и точки.

Начнем с аксиомы: в каждой плоскости имеются точки. Из нее следует первый вариант взаимного расположения плоскости и точки – точка может принадлежать плоскости. Другими словами, плоскость может проходить через точку. Для обозначения принадлежности какой-либо точки какой-либо плоскости используют символ «». Например, если плоскость проходит через точку А , то можно кратко записать .

Следует понимать, что на заданной плоскости в пространстве имеется бесконечно много точек.

Следующая аксиома показывает, сколько точек в пространстве необходимо отметить, чтобы они определяли конкретную плоскость: через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, причем только одна. Если известны три точки, лежащие в плоскости, то плоскость можно обозначить тремя буквами, соответствующими этим точкам. Например, если плоскость проходит через точки А , В и С , то ее можно обозначить АВС .

Сформулируем еще одну аксиому, которая дает второй вариант взаимного расположения плоскости и точки: имеются по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Итак, точка пространства может не принадлежать плоскости. Действительно, в силу предыдущей аксиомы через три точки пространства проходит плоскость, а четвертая точка может как лежать на этой плоскости, так и не лежать. При краткой записи используют символ «», который равносилен фразе «не принадлежит».

К примеру, если точка А не лежит в плоскости , то используют краткую запись .

Прямая и плоскость в пространстве.

Во-первых, прямая может лежать в плоскости. В этом случае, в плоскости лежат хотя бы две точки этой прямой. Это устанавливается аксиомой: если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в плоскости. Для краткой записи принадлежности некоторой прямой данной плоскости пользуются символом «». Например, запись означает, что прямая а лежит в плоскости .

Во-вторых, прямая может пересекать плоскость. При этом прямая и плоскость имеют одну единственную общую точку, которую называют точкой пересечения прямой и плоскости. При краткой записи пересечение обозначаю символом «». К примеру, запись означает, что прямая а пересекает плоскость в точке М . При пересечении плоскости некоторой прямой возникает понятие угла между прямой и плоскостью .

Отдельно стоит остановиться на прямой, которая пересекает плоскость и перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Такую прямую называют перпендикулярной к плоскости. Для краткой записи перпендикулярности используют симовл «». Для более глубокого изучения материала можете обратиться к статье перпендикулярность прямой и плоскости .

Особую значимость при решении задач, связанных с плоскостью, имеет так называемый нормальный вектор плоскости . Нормальным вектором плоскости является любой ненулевой вектор, лежащий на прямой, перпендикулярной этой плоскости.

В-третьих, прямая может быть параллельна плоскости, то есть, не иметь в ней общих точек. При краткой записи параллельности используют символ «». Например, если прямая а параллельна плоскости , то можно записать . Рекомендуем подробнее изучить этот случай, обратившись к статье параллельность прямой и плоскости .

Следует сказать, что прямая, лежащая в плоскости, делит эту плоскость на две полуплоскости. Прямая в этом случае называется границей полуплоскостей. Любые две точки одной полуплоскости лежат по одну сторону от прямой, а две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от граничной прямой.

Взаимное расположение плоскостей.

Две плоскости в пространстве могут совпадать. В этом случае они имеют, по крайней мере, три общие точки.

Две плоскости в пространстве могут пересекаться. Пересечением двух плоскостей является прямая линия, что устанавливается аксиомой: если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

В этом случае возникает понятие угла между пересекающимися плоскостями . Отдельный интерес представляет случай, когда угол между плоскостями равен девяноста градусам. Такие плоскости называют перпендикулярными. О них мы поговорили в статье перпендикулярность плоскостей .

Наконец, две плоскости в пространстве могут быть параллельными, то есть, не иметь общих точек. Рекомендуем ознакомиться со статьей параллельность плоскостей , чтобы получить полное представление об этом варианте взаимного расположения плоскостей.

Способы задания плоскости.

Сейчас мы перечислим основные способы задания конкретной плоскости в пространстве.

Во-первых, плоскость можно задать, зафиксировав три не лежащие на одной прямой точки пространства. Этот способ основан на аксиоме: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.

Если в трехмерном пространстве зафиксирована и задана плоскость с помощью указания координат трех ее различных точек, не лежащих на одной прямой, то мы можем написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки .

Два следующих способа задания плоскости являются следствием из предыдущего. Они основаны на следствиях из аксиомы о плоскости, проходящей через три точки:

• через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, притом только одна (смотрите также статью уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку);
• через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость (рекомендуем ознакомиться с материалом статьи уравнение плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые).

Четвертый способ задания плоскости в пространстве основан на определении параллельных прямых . Напомним, что две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Таким образом, указав две параллельные прямые в пространстве, мы определим единственную плоскость, в которой эти прямые лежат.

Если в трехмерном пространстве относительно прямоугольной системы координат задана плоскость указанным способом, то мы можем составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые .

В курсе средней школы на уроках геометрии доказывается следующая теорема: через фиксированную точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная к данной прямой. Таким образом, мы можем задать плоскость, если укажем точку, через которую она проходит, и прямую, перпендикулярную к ней.

Если в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат и задана плоскость указанным способом, то можно составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой .

Вместо прямой, перпендикулярной к плоскости, можно указать один из нормальных векторов этой плоскости. В этом случае есть возможность написать

Прямая может принадлежать плоскости , быть ей параллельной или пересекать плоскость. Прямая принадлежит плоскости, если две точки, принадлежащие прямой и плоскости, имеют одинаковые отметки . Следствие, вытекающее из сказанного: точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой, лежащей в этой плоскости.

Прямая, пересекающая плоскость. Чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью, необходимо (рис. 3.28):

1) через заданную прямую m провести вспомогательную плоскость Т ;

2) построить линию n пересечения заданной плоскости Σ с вспомогательной плоскостью Т;

3) отметить точку пересечения R, заданной прямой m с линией пересечения n.

Рассмотрим задачу (рис. 3.29).Прямая m задана на плане точкой А 6 и углом наклона 35°. Через эту прямую проведена вспомогательная вертикальная плоскость Т, которая пересекает плоскость Σ по линии n (В 2 С 3 ). Таким образом, переходят от взаимного положения прямой и плоскости к взаимному положению двух прямых, лежащих в одной вертикальной плоскости. Такая задача решается построением профилей этих прямых. Пересечение прямых m и n на профиле определяет искомую точку R . Высотную отметку точки R определяют по шкале вертикальных масштабов.

Прямая, перпендикулярная плоскости. Прямая линия перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к любым двум пересекающимся прямым этой плоскости. На рис 3.30 изображена прямая m , перпендикулярная к плоскости Σ и пересекающая ее в точке А. На плане проекции прямой m и горизонтали плоскости взаимно перпендикулярны (прямой угол, одна сторона которого параллельна плоскости проекций, проецируется без искажения. Обе прямые лежат в одной вертикальной плоскости, следовательно заложения у таких прямых обратны по величине друг другу: l m = l /l u . Но l uΣ = l Σ , тогда l m = l / l Σ , то есть заложение прямой m обратно пропорционально заложению плоскости. Падения у прямой и плоскости направлены в разные стороны.

3.4. Проекции с числовыми отметками. Поверхности

3.4.1.Многогранники и кривые поверхности. Топографическая поверхность

В природе многие вещества имеют кристаллическое строение в виде многогранников. Многогранником называют совокупность плоских многоугольников, не лежащих в одной и той же плоскости, где каждая сторона одного из них является одновременно стороной другого. При изображении многогранника достаточно указать проекции его вершин, соединив их в определенном порядке прямыми линиями - проекциями ребер. При этом на чертеже необходимо указывать видимые и невидимые ребра. На рис. 3.31 изображены призма и пирамида, а также нахождение отметок точек, принадлежащих данным поверхностям.

Особой группой выпуклых многоугольников является группа правильных многоугольников, у которых все грани - равные между собой правильные многоугольники и все многоугольные углы равны. Существует пять видов правильных многоугольников.

Тетраэдр - правильный четырехугольник, ограниченный равносторонними треугольниками, имеет 4 вершины и 6 ребер (рис. 3.32 а).

Гексаэдр - правильный шестигранник (куб) - 8 вершин, 12 ребер (рис. 3.32б).

Октаэдр - правильный восьмигранник, ограниченный восемью равносторонними треугольниками - 6 вершин, 12 ребер (рис. 3.32в).

Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, ограниченный двенадцатью правильными пятиугольниками, соединенными по три около каждой вершины.

Имеет 20 вершин и 30 ребер (рис.3.32 г).

Икосаэдр - правильный двадцатигранник, ограниченный двадцатью равносторонними треугольниками, соединенными по пяти около каждой вершины.12 вершин и 30 ребер (рис. 3.32 д).

При построении точки, лежащей на грани многогранника, необходимо провести прямую, принадлежащую этой грани и на ее проекции отметить проекцию точки.

Конические поверхности образуются перемещением прямолинейной образующей по криволинейной направляющей так, что во всех положениях образующая проходит через неподвижную точку -вершину поверхности. Конические поверхности общего вида на плане изображают направляющей горизонталью и вершиной. На рис. 3.33 показано нахождение отметки точки на поверхности конической поверхности.

Прямой круговой конус изображается серией концентрических окружностей, проведенных через равные интервалы (рис.3.34а). Эллиптический конус с круговым основанием - серией эксцентрических окружностей (рис. 3.34 б)

Сферические поверхности. Сферическую поверхность относят к поверхностям вращения. Она образуется вращением окружности вокруг ее диаметра. На плане сферическая поверхность определена центром К и проекцией одной из ее горизонталей (экватором сферы) (рис. 3.35).

Топографическая поверхность. Топографическую поверхность относят к геометрически неправильным поверхностям, так как она не имеет геометрического закона образования. Для характеристики поверхности определяют положение ее характерных точек относительно плоскости проекций. На рис. 3.3 б а дан пример участка топографической поверхности, на котором показаны проекции ее отдельных точек. Такой план хотя и дает возможность составить представление о форме изображаемой поверхности, однако отличается малой наглядностью. Чтобы придать чертежу большую наглядность и облегчить тем самым его чтение, проекции точек с одинаковыми отметками соединяют плавными кривыми линиями, которые называют горизонталями (изолиниями) (рис. 3.36 б).

Горизонтали топографической поверхности иногда определяют и как линии пересечения этой поверхности с горизонтальными плоскостями, отстоящими друг от друга на одно и то же расстояние (рис. 3.37). Разность отметок у двух смежных горизонталей называют высотой сечения.

Изображение топографической поверхности тем точнее, чем меньше разность отметок у двух смежных горизонталей. На планах горизонтали замыкаются в пределах чертежа или вне его. На более крутых склонах поверхности проекции горизонталей сближаются, на пологих – их проекции расходятся.

Кратчайшее расстояние между проекциями двух смежных горизонталей на плане называют заложением. На рис. 3.38 через точку А топографической поверхности проведено несколько отрезков прямых АВ, АС и АD . Все они имеют разные углы падения. Наибольший угол падения имеет отрезок АС , заложение которого имеет минимальное значение. Поэтому он и будет являться проекцией линии падения поверхности в данном месте.

На рис. 3.39 приводится пример построения проекции линии падения через заданную точку А . Из точки А 100 , как из центра, проводят дугу окружности, касающуюся ближайшей горизонтали в точке В 90 . Точка В 90 , лежащая на горизонтали h 90 , будет принадлежать линии падения. Из точки В 90 проводят дугу, касающуюся следующей горизонтали в точке С 80 , и т. д. Из чертежа видно, что линией падения топографической поверхности является ломаная линия, каждое звено которой перпендикулярно к горизонтали, проходящей через нижний, имеющий меньшую отметку, конец звена.

3.4.2.Пересечение конической поверхности плоскостью

Если секущая плоскость проходит через вершину конической поверхности, то она пересекает ее по прямым линиям-образующим поверхности. Во всех остальных случаях линия сечения будет плоской кривой: окружностью, эллипсом и т.д. Рассмотрим случай пересечения конической поверхности плоскостью.

Пример 1. Построить проекцию линии пересечения кругового конуса Φ(h о , S 5 ) с плоскостью Ω, параллельной образующей конической поверхности.

Коническая поверхность при заданном расположении плоскости пересекается по параболе. Проинтерполировав образующую t строим горизонтали кругового конуса - концентрические окружности с центром S 5 . Затем определяем точки пересечения одноименных горизонталей плоскости и конуса (рис. 3.40).

3.4.3. Пересечение топографической поверхности с плоскостью и прямой линией

Случай пересечения топографической поверхности с плоскостью наиболее часто встречается в решении геологических задач. На рис. 3.41 дан пример построения пересечения топографической поверхности с плоскостью Σ. Искомую кривую m определяют точками пересечения одноименных горизонталей плоскости и топографической поверхности.

На рис. 3.42 дан пример построения истинного вида топографической поверхности с вертикальной плоскостью Σ. Искомую линию m определяют точками А, В, С … пересечения горизонталей топографической поверхности с секущей плоскостью Σ. На плане проекция кривой вырождается в прямую линию, совпадающую с проекцией плоскости: m ≡ Σ. Профиль кривой m построен с учетом расположения на плане проекций ее точек, а также их высотных отметок.

3.4.4. Поверхность равного уклона

Поверхность равного уклона представляет собой линейчатую поверхность, все прямолинейные образующие которой составляют с горизонтальной плоскостью постоянный угол. Получить такую поверхность можно перемещением прямого кругового конуса с осью, перпендикулярной плоскости плана, так, что бы его вершина скользила по некоторой направляющей, а ось в любом положении оставалась вертикальной.

На рис. 3.43 изображена поверхность равного уклона (i=1/2), направляющей которой служит пространственная кривая A, B, C, D.

Градуирования плоскости. В качестве примеров рассмотрим плоскости откосов дорожного полотна.

Пример 1. Продольный уклон дорожного полотна i=0, уклон откоса насыпи i н =1:1,5, (рис. 3.44а). Требуется провести горизонтали через 1м. Решение сводится к следующему. Проводим масштаб уклона плоскости перпендикулярно бровке дорожного полотна, отмечаем точки на расстоянии, равном интервалу 1,5м, взятом с линейного масштаба, и определяем отметки 49, 48 и 47. Через полученные точки проводим горизонтали откоса параллельно бровке дороги.

Пример 2. Продольный уклон дороги i≠0, уклон откоса насыпи i н =1:1,5, (рис.3.44б). Плоскость дорожного полотна градуируется. Откос дорожного полотна градуируется следующим образом. В точке с вершиной 50,00 (или другой точке) помещаем вершину конуса, описываем окружность радиусом, равным интервалу откоса насыпи (в нашем примере l = 1,5м). Отметка этой горизонтали конуса будет на единицу меньше отметки вершины, т.е. 49м. Проводим ряд окружностей, получаем отметки горизонталей 48, 47, касательно к которым из точек бровки с отметками 49, 48, 47 проводим горизонтали откоса насыпи.

Градуирование поверхностей.

Пример 3. Если продольный уклон дороги i=0 и уклон откоса насыпи i н =1:1,5, то горизонтали откосов проводят через точки масштаба уклона, интервал которого равен интервалу откосов насыпи, (рис.3.45а). Расстояние между двумя проекциями смежных горизонталей в направлении общей нормы (масштаб уклона) всюду одинаково.

Пример 4. Если продольный уклон дороги i≠0,а уклон откоса насыпи i н =1:1,5, (рис.3.45б) то горизонтали строят аналогично, за исключением того, что горизонтали откоса проводят не прямыми линиями, а кривыми.

3.4.5. Определение линии пределов земляных работ

Так как большинство грунтов неспособно сохранять вертикальные стенки, приходится строить откосы (искусственные сооружения). Уклон, придаваемый откосом, зависит от грунта.

Чтобы участку поверхности земли придать вид плоскости с определённым уклоном, нужно знать линию пределов земляных и нулевых работ. Эта линия, ограничивающая планируемый участок, представляется линиями пересечения откосов насыпей и выемок с заданной топографической поверхностью.

Так как каждая поверхность (в том числе и плоская) изображается при помощи горизонталей, то линию пересечения поверхностей строят как множество точек пересечения горизонталей с одинаковыми отметками. Рассмотрим примеры.

Пример 1. На рис. 3.46 дано земляное сооружение, имеющее форму усеченной четырехугольной пирамиды, стоящее на плоскости Н . Верхнее основание АВСD пирамиды имеет отметку 4м и размеры сторон 2×2,5 м . Боковые грани (откосы насыпи) имеет уклон 2:1 и 1:1, направление которых показано стрелками.

Нужно построить линию пересечения откосов сооружения с плоскостью Н и между собой, а также построить, продольный профиль по оси симметрии.

Вначале строят диаграмму уклонов, интервалов и масштабов заложений, заданных откосов. Перпендикулярно каждой стороне площадки вычерчиваются масштабы уклонов откосов с заданными интервалами, после чего проекции горизонталей с одинаковыми отметками смежных граней находятся линии пересечения откосов, которые являются проекциями боковых ребер данной пирамиды.

Нижнее основание пирамиды совпадает с нулевыми горизонталями откосов. Если данное земляное сооружение пересечь вертикальной плоскостью Q , в сечении получится ломаная линия – продольный профиль сооружения.

Пример 2 . Построить линию пересечения откосов котлована с плоским косогором и между собой. Дно (АВСD ) котлована представляет собой прямоугольную площадку с отметкой 10м и размерами 3×4м. Ось площадки составляет с линией юг – север угол 5°. Откосы выемок имеют одинаковые уклоны 2:1 (рис. 3.47).

Линия нулевых работ устанавливается по плану местности. Её строят по точкам пересечения между собой одноименных проекций горизонталей рассматриваемых поверхностей. По точкам пересечения горизонталей откосов и топографической поверхности с одинаковыми отметками находят линию пересечения откосов, которые являются проекциями боковых ребер данного котлована.

В данном случае к дну котлована примыкают боковые откосы выемок. Линия abcd – искомая линия пересечения. Aa, Bb, Сс, Dd – ребра котлована, линии пересечения откосов между собой.

4. Вопросы для самоконтроля и задачи для самостоятельной работы по теме «Прямоугольные проекции»

Точка

4.1.1. Сущность метода проекций.

4.1.2. Что такое проекция точки?

4.1.3. Как называются и обозначаются плоскости проекций?

4.1.4. Что такое линии проекционной связи на чертеже и как они располагаются на чертеже по отношению к осям проекций?

4.1.5. Как построить третью (профильную) проекцию точки?

4.1.6. Построить на трехкартинном чертеже три проекции точек А, В, С, записать их координаты и заполнить таблицу.

4.1.7. Построить недостающие оси проекций, х А =25, y A =20. Построить профильную проекцию точки А.

4.1.8. Построить три проекции точек по их координатам: А(25,20,15), В(20,25,0) и С(35,0,10). Указать положение точек по отношению к плоскостям и осям проекций. Какая из точек ближе к плоскости П 3 ?

4.1.9. Материальные точки А и В начинают одновременно падать. В каком положении окажется точка В, когда точка А коснется земли? Определить видимость точек. Построить точки в новом положении.

4.1.10. Построить три проекции точки А, если точка лежит в плоскости П 3 , а расстояние от нее до плоскости П 1 равно 20 мм, до плоскости П 2 – 30 мм. Записать координаты точки.

Прямая

4.2.1. Чем может быть задана прямая линия на чертеже?

4.2.2. Какая прямая называется прямой общего положения?

4.2.3. Какое положение может занимать прямая относительно плоскостей проекций?

4.2.4. В каком случае проекция прямой обращается в точку?

4.2.5. Что характерно для комплексного чертежа прямой уровня?

4.2.6. Определить взаимное положение данных прямых.

a … b a … b a … b

4.2.7. Построить проекции отрезка прямой АВ длиной 20 мм, параллельного плоскостям: а) П 2 ; б) П 1 ; в) оси Ох. Обозначить углы наклона отрезка к плоскостям проекций.

4.2.8. Построить проекции отрезка АВ по координатам его концов: А(30,10,10), В(10,15,30). Построить проекции точки С, делящей отрезок в отношении АС:СВ = 1:2.

4.2.9. Определить и записать количество ребер данного многогранника и положение их относительно плоскостей проекций.

4.2.10. Через точку А провести горизонталь и фронталь, пересекающие прямую m.

4.2.11. Определить расстояние между прямой b и точкой А

4.2.12. Построить проекции отрезка АВ длиной 20 мм, проходящего через точку А и перпендикулярного плоскости а) П 2 ; б) П 1 ; в) П 3 .

Прямая принадлежит плоскости , если имеет две общие точки или одну общую точку и параллельна какой-либо прямой, лежащей в плоскости. Пусть плоскость на чертеже задана двумя пересекающимися прямыми. В данной плоскости требуется построить две прямые m и n в соответствии с этими условиями (Г (а b)) (рис. 4.5).

Р е ш е н и е. 1. Произвольно проводим m 2 , так как прямая принадлежит плоскости, отмечаем проекции точек пересечения ее с прямыми а и b и определяем их горизонтальные проекции, через 1 1 и 2 1 проводим m 1.

2. Через точку К плоскости проводим n 2 ║m 2 и n 1 ║m 1 .

Прямая параллельна плоскости , если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в плоскости.

Пересечение прямой и плоскости. Возможны три случая расположения прямой и плоскости относительно плоскостей проекций. В зависимости от этого определяется точка пересечения прямой и плоскости.

Первый случай – прямая и плоскость – проецирующего положения. В этом случае точка пересечения на чертеже имеется (обе ее проекции), ее нужно только обозначить.

П р и м е р. На чертеже задана плоскость следами Σ (h 0 f 0) – горизонтально проецирующего положения – и прямая l – фронтально проецирующего положения. Определить точку их пересечения (рис. 4.6).

Точка пересечения на чертеже уже есть – К(К 1 К 2).

Второй случай – или прямая, или плоскость – проецирующего положения. В этом случае на одной из плоскостей проекций проекция точки пересечения уже имеется, ее нужно обозначить, а на второй плоскости проекций – найти по принадлежности.

П р и м е р ы. На рис. 4.7, а изображена плоскость следами фронтально проецирующего положения и прямая l – общего положения. Проекция точки пересечения К 2 на чертеже уже имеется, а проекцию К 1 необходимо найти по принадлежности точки К прямой l . На
рис. 4.7, б плоскость общего положения, а прямая m – фронтально проецирующего, тогда К 2 уже есть (совпадает с m 2), а К 1 нужно найти из условия принадлежности точки К плоскости. Для этого через К проводят
прямую (h – горизонталь), лежащую в плоскости.

Третий случай – и прямая, и плоскость – общего положения. В этом случае для определения точки пересечения прямой и плоскости необходимо воспользоваться так называемым посредником – плоскостью проецирующей. Для этого через прямую проводят вспомогательную секущую плоскость. Эта плоскость пересекает заданную плоскость по линии. Если эта линия пересекает заданную прямую, то есть точка пересечения прямой и плоскости.

П р и м е р ы. На рис. 4.8 представлены плоскость треугольником АВС – общего положения – и прямая l – общего положения. Чтобы определить точку пересечения К, необходимо через l провести фронтально проецирующую плоскость Σ, построить в треугольнике линию пересечения Δ и Σ (на чертеже это отрезок 1,2), определить К 1 и по принадлежности – К 2 . Затем определяется видимость прямой l по отношению к треугольнику по конкурирующим точкам. На П 1 конкурирующими точками взяты точки 3 и 4. Видима на П 1 проекция точки 4, так как у нее координата Z больше, чем у точки 3, следовательно, проекция l 1 от этой точки до К 1 будет невидима.

На П 2 конкурирующими точками взяты точка 1, принадлежащая АВ, и точка 5, принадлежащая l . Видимой будет точка 1, так как у нее координата Y больше, чем у точки 5, и следовательно, проекция прямой l 2 до К 2 невидима.

Стереометрия

Взаимное расположение прямых и плоскостей

В пространстве

Параллельность прямых и плоскостей

Две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Прямая и плоскость называются параллельными , если они не пересекаются.

Две плоскости называются параллельными , если они не пересекаются.

Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися .

Признак параллельности прямой и плоскости . Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Признак параллельности плоскостей . Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Признак скрещивающихся прямых . Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то данные прямые скрещиваются.

Теоремыо параллельных прямых и параллельных плоскостях.

1. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

2. Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

3. Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной, и только одну.

4. Если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна их линии пересечения.

5. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии пересечения параллельны.

6. Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и только одну.

7. Две плоскости, параллельные третьей, параллельны между собой.

8. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Углы между прямыми и плоскостями

Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость (угол на рис. 1).

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, параллельными соответственно данным скрещивающимся прямым.

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей прямой. Полуплоскости называются гранями , прямая – ребром двугранного угла.

Линейным углом двугранного угла называется угол между полупрямыми, принадлежащими граням двугранного угла, исходящими из одной точки на ребре и перпендикулярными ребру (угол на рис. 2).

Градусная (радианная) мера двугранного угла равна градусной (радианной) мере его линейного угла.

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Две прямые называются перпендикулярными , если они пересекаются под прямым углом.

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в плоскости, проходящей через точку пересечения данной прямой и плоскости.

Две плоскости называются перпендикулярными , если пересекаясь, они образуют прямые двугранные углы.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости . Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

Признак перпендикулярности двух плоскостей . Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Теоремы о перпендикулярных прямых и плоскостях.

1. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

2. Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.

3. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой.

4. Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

Перпендикуляр и наклонная

Теорема . Если из одной точки вне плоскости проведены перпендикуляр и наклонные, то:

1) наклонные, имеющие равные проекции, равны;

2) из двух наклонных больше та, проекция которой больше;

3) равные наклонные имеют равные проекции;

4) из двух проекций больше та, которая соответствует большей наклонной.

Теорема о трех перпендикулярах . Для того чтобы прямая, лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна проекции наклонной (рис.3).

Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника на плоскость. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению площади многоугольника на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Построение.

1. На плоскости a проводим прямую а .

3. В плоскости b через точку А проведем прямую b , параллельную прямой а .

4. Построена прямая b параллельная плоскости a .

Доказательство. По признаку параллельности прямой и плоскости прямая b параллельна плоскости a , так как она параллельна прямой а , принадлежащей плоскости a .

Исследование. Задача имеет бесконечное множество решений, так как прямая а в плоскости a выбирается произвольно.

Пример 2. Определите, на каком расстоянии от плоскости находится точка А , если прямая АВ пересекает плоскость под углом 45º, расстояние от точки А до точки В , принадлежащей плоскости, равно см?

Решение. Сделаем рисунок (рис. 5):

АС – перпендикуляр к плоскости a , АВ – наклонная, угол АВС – угол между прямой АВ и плоскостью a . Треугольник АВС – прямоугольный так как АС – перпендикуляр. Искомое расстояние от точки А до плоскости – это катет АС прямоугольного треугольника. Зная угол и гипотенузу см найдем катет АС :

Ответ: 3 см.

Пример 3. Определите, на каком расстоянии от плоскости равнобедренного треугольника находится точка, удаленная от каждой из вершин треугольника на 13 см, если основание и высота треугольника равны по 8 см?

Решение. Сделаем рисунок (рис. 6). Точка S удалена от точек А , В и С на одинаковое расстояние. Значит, наклонные SA , SB и SC равные, SO – общий перпендикуляр этих наклонных. По теореме о наклонных и проекциях АО = ВО = СО.

Точка О – центр окружности описанной около треугольника АВС . Найдем ее радиус:

где ВС – основание;

AD – высота данного равнобедренного треугольника.

Находим стороны треугольника АВС из прямоугольного треугольника ABD по теореме Пифагора:

Теперь находим ОВ :

Рассмотрим треугольник SOB : SB = 13 см, ОВ = = 5 см. Находим длину перпендикуляра SO по теореме Пифагора:

Ответ: 12 см.

Пример 4. Даны параллельные плоскости a и b . Через точку М , не принадлежащую ни одной из них, проведены прямые а и b , которые пересекают a в точках А 1 и В 1 , а плоскость b – в точках А 2 и В 2 . Найти А 1 В 1 , если известно, что МА 1 = 8 см, А 1 А 2 = 12 см, А 2 В 2 = 25 см.

Решение. Так как в условии не сказано, как расположена относительно обеих плоскостей точка М , то возможны два варианта: (рис. 7, а) и (рис. 7, б). Рассмотрим каждый из них. Две пересекающиеся прямые а и b задают плоскость. Эта плоскость пересекает две параллельные плоскости a и b по параллельным прямым А 1 В 1 и А 2 В 2 согласно теореме 5 о параллельных прямых и параллельных плоскостях.

Треугольники МА 1 В 1 и МА 2 В 2 подобны (углы А 2 МВ 2 и А 1 МВ 1 – вертикальные, углы МА 1 В 1 и МА 2 В 2 – внутренние накрест лежащие при параллельных прямых А 1 В 1 и А 2 В 2 и секущей А 1 А 2). Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

Вариант а):

Вариант б):

Ответ: 10 см и 50 см.

Пример 5. Через точку А плоскости g проведена прямая АВ , образующая с плоскостью угол a . Через прямую АВ проведена плоскость r , образующая с плоскостью g угол b . Найти угол между проекцией прямой АВ на плоскость g и плоскостью r .

Решение. Сделаем рисунок (рис. 8). Из точки В опустим перпендикуляр на плоскость g . Линейный угол двугранного угла между плоскостями g и r – это угол Прямая AD DBC , по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, так как и По признаку перпендикулярности плоскостей плоскость r перпендикулярна плоскости треугольника DBC , так как она проходит через прямую AD . Искомый угол построим, опустив перпендикуляр из точки С на плоскость r , обозначим его Найдем синус этого угла прямоугольного треугольника САМ . Введем вспомогательный отрезок а = ВС . Из треугольника АВС : Из треугольника ВМС найдем

Тогда искомый угол

Ответ:

Задания для самостоятельного решения

I уровень

1.1. Через точку проведите прямую перпендикулярную двум заданным скрещивающимся прямым.

1.2. Определите, сколько различных плоскостей можно провести:

1) через три различные точки;

2) через четыре различные точки, никакие три из которых не лежат на одной плоскости?

1.3. Через вершины треугольника АВС , лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А 1 , В 1 , С 1 . Докажите равенство треугольников АВС и А 1 В 1 С 1 .

1.4. Из вершины А прямоугольника ABCD восставлен перпендикуляр АМ к его плоскости.

1) докажите, что треугольники MBC и MDC – прямоугольные;

2) укажите среди отрезков MB , MC , MD и MA отрезок наибольшей и наименьшей длины.

1.5. Грани одного двугранного угла соответственно параллельны граням другого. Определите, какова зависимость между величинами этих двугранных углов.

1.6. Найдите величину двугранного угла, если расстояние от точки, взятой на одной грани, до ребра в 2 раза больше расстояния от точки до плоскости второй грани.

1.7. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние проведены две равные наклонные, образующие угол 60º. Проекции наклонных взаимно перпендикулярны. Найдите длины наклонных.

1.8. Из вершины В квадрата ABCD восставлен перпендикуляр ВЕ к плоскости квадрата. Угол наклона плоскости треугольника АСЕ к плоскости квадрата равен j , сторона квадрата равна а АСЕ .

II уровень

2.1. Через точку, которая не принадлежит ни одной из двух скрещивающихся прямых, проведите прямую, пересекающую обе данные прямые.

2.2. Параллельные прямые а , b и с не лежат в одной плоскости. Через точку А на прямой а проведены перпендикуляры к прямым b и с , пересекающие их соответственно в точках В и С . Докажите, что прямая ВС перпендикулярна прямым b и с .

2.3. Через вершину А прямоугольного треугольника АВС проведена плоскость, параллельная ВС . Катеты треугольника АС = 20 см, ВС = 15 см. Проекция одного из катетов на плоскость равна 12 см. Найдите проекцию гипотенузы.

2.4. В одной из граней двугранного угла, равного 30º, расположена точка М . Расстояние от нее до ребра угла равно 18 см. Найдите расстояние от проекции точки М на вторую грань до первой грани.

2.5. Концы отрезка АВ принадлежат граням двугранного угла, равного 90º. Расстояние от точек А и В до ребра равны соответственно АА 1 = 3 см, ВВ 1 = 6 см, расстояние между точками на ребре Найдите длину отрезка АВ .

2.6. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а , проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы 45º и 30º, а между собой угол – 90º. Найдите расстояние между основаниями наклонных.

2.7. Стороны треугольника равны 15 см, 21 см и 24 см. Точка М удалена от плоскости треугольника на 73 см и находится на одинаковом расстоянии от его вершин. Найдите это расстояние.

2.8. Из центра О окружности, вписанной в треугольник АВС , к плоскости треугольника восставлен перпендикуляр ОМ . Найдите расстояние от точки М до сторон треугольника, если АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см, ОМ = 4 см.

2.9. Расстояния от точки М до сторон и вершины прямого угла соответственно равны 4 см, 7 см и 8 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости прямого угла.

2.10. Через основание АВ равнобедренного треугольника АВС проведена плоскость под углом b к плоскости треугольника. Вершина С удалена от плоскости на расстояние а . Найдите площадь треугольника АВС , если основание АВ равнобедренного треугольника равно его высоте.

III уровень

3.1. Макет прямоугольника ABCD со сторонами а и b перегнут по диагонали BD так, что плоскости треугольников BAD и BCD стали взаимно перпендикулярны. Найдите длину отрезка АС .

3.2. Две прямоугольные трапеции с углами в 60º лежат в перпендикулярных плоскостях и имеют большее общее основание. Большие боковые стороны равны 4 см и 8 см. Найдите расстояние между вершинами прямых и вершинами тупых углов трапеций, если вершины их острых углов совпадают.

3.3.Задан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Найдите угол между прямой CD 1 и плоскостью BDC 1 .

3.4. На ребре АВ куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 взята точка Р – середина этого ребра. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки C 1 PD и найдите площадь этого сечения, если ребро куба равно а .

3.5. Через сторону AD прямоугольника ABCD проведена плоскость a так, что диагональ BD составляет с этой плоскостью угол 30º. Найдите угол между плоскостью прямоугольника и плоскостью a , если АВ = а , AD = b . Определите, при каком соотношении а и b задача имеет решение.

3.6. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от прямых, определенных сторонами треугольника.

Призма. Параллелепипед

Призмой называется многогранник, две грани которого – равные n-угольники (основания) , лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней – параллелограммы (боковые грани) . Боковым ребром призмы называется сторона боковой грани, не принадлежащая основанию.

Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой призмой (рис. 1). Если боковые ребра не перпендикулярны плоскостям оснований, то призма называется наклонной . Правильной призмой называется прямая призма, основания которой – правильные многоугольники.

Высотой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. Диагональным сечением называется сечение призмы плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани. Перпендикулярным сечением называется сечение призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру призмы.

Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей всех боковых граней. Площадью полной поверхности называется сумма площадей всех граней призмы (т.е. сумма площадей боковых граней и площадей оснований).

Для произвольной призмы верны формулы :

где l – длина бокового ребра;

H – высота;

P

Q

S бок

S полн

S осн – площадь оснований;

V – объем призмы.

Для прямой призмы верны формулы:

где p – периметр основания;

l – длина бокового ребра;

H – высота.

Параллелепипедом называется призма, основанием которой служит параллелограмм. Параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны к основаниям, называется прямым (рис. 2). Если боковые ребра не перпендикулярны основаниям, то параллелепипед называется наклонным . Прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник, называется прямоугольным. Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими . Длины ребер, исходящих из одной вершины, называются измерениями параллелепипеда. Так как параллелепипед – это призма, то основные его элементы определяются аналогично тому, как они определены для призм.

Теоремы.

1. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

2. В прямоугольном параллелепипеде квадрат длины диагонали равен сумме квадратов трех его измерений:

3. Все четыре диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой.

Для произвольного параллелепипеда верны формулы:

где l – длина бокового ребра;

H – высота;

P – периметр перпендикулярного сечения;

Q – Площадь перпендикулярного сечения;

S бок – площадь боковой поверхности;

S полн – площадь полной поверхности;

S осн – площадь оснований;

V – объем призмы.

Для прямого параллелепипеда верны формулы:

где p – периметр основания;

l – длина бокового ребра;

H – высота прямого параллелепипеда.

Для прямоугольного параллелепипеда верны формулы:

где p – периметр основания;

H – высота;

d – диагональ;

a,b,c – измерения параллелепипеда.

Для куба верны формулы:

где a – длина ребра;

d – диагональ куба.

Пример 1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 33 дм, а его измерения относятся, как 2: 6: 9. Найти измерения параллелепипеда.

Решение. Для нахождения измерений параллелепипеда воспользуемся формулой (3), т.е. тем фактом, что квадрат гипотенузы прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Обозначим через k коэффициент пропорциональности. Тогда измерения параллелепипеда будут равны 2k , 6k и 9k . Запишем формулу (3) для данных задачи:

Решая это уравнение относительно k , получим:

Значит, измерения параллелепипеда равны 6 дм, 18 дм и 27 дм.

Ответ: 6 дм, 18 дм, 27 дм.

Пример 2. Найти объем наклонной треугольной призмы, основанием которой служит равносторонний треугольник со стороной 8 см, если боковое ребро равно стороне основания и наклонено под углом 60º к основанию.

Решение . Сделаем рисунок (рис. 3).

Для того, чтобы найти объем наклонной призмы необходимо знать площадь ее основания и высоту. Площадь основания данной призмы – это площадь равностороннего треугольника со стороной 8 см. Вычислим ее:

Высотой призмы является расстояние между ее основаниями. Из вершины А 1 верхнего основания опустим перпендикуляр на плоскость нижнего основания А 1 D . Его длина и будет высотой призмы. Рассмотрим DА 1 АD : так как это угол наклона бокового ребра А 1 А к плоскости основания, А 1 А = 8 см. Из этого треугольника находим А 1 D :

Теперь вычисляем объем по формуле (1):

Ответ: 192 см 3 .

Пример 3. Боковое ребро правильной шестиугольной призмы равно 14 см. Площадь наибольшего диагонального сечения равна 168 см 2 . Найти площадь полной поверхности призмы.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 4)

Наибольшее диагональное сечение – прямоугольник AA 1 DD 1 , так как диагональ AD правильного шестиугольника ABCDEF является наибольшей. Для того, чтобы вычислить площадь боковой поверхности призмы, необходимо знать сторону основания и длину бокового ребра.

Зная площадь диагонального сечения (прямоугольника), найдем диагональ основания.

Поскольку , то

Так как то АВ = 6 см.

Тогда периметр основания равен:

Найдем площадь боковой поверхности призмы:

Площадь правильного шестиугольника со стороной 6 см равна:

Находим площадь полной поверхности призмы:

Ответ:

Пример 4. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб. Площади диагональных сечений 300 см 2 и 875 см 2 . Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 5).

Обозначим сторону ромба через а , диагонали ромба d 1 и d 2 , высоту параллелепипеда h . Чтобы найти площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда необходимо периметр основания умножить на высоту: (формула (2)). Периметр основания р = АВ + ВС + CD + DA = 4AB = 4a , так как ABCD – ромб. Н = АА 1 = h . Т.о. Необходимо найти а и h .

Рассмотрим диагональные сечения. АА 1 СС 1 – прямоугольник, одна сторона которого диагональ ромба АС = d 1 , вторая – боковое ребро АА 1 = h , тогда

Аналогично для сечения ВВ 1 DD 1 получим:

Используя свойство параллелограмма такое, что сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон, получим равенство Получим следующее:

Из первых двух равенств выразим и подставим в третье. Получим: то

1.3. В наклонной треугольной призме проведено сечение перпендикулярное боковому ребру равному 12 см. В полученном треугольнике две стороны с длинами см и 8 см образуют угол 45°. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

1.4. Основанием прямого параллелепипеда является ромб со стороной 4 см и острым углом 60°. Найдите диагонали параллелепипеда, если длина бокового ребра 10 см.

1.5. Основанием прямого параллелепипеда является квадрат с диагональю, равной см. Боковое ребро параллелепипеда 5 см. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

1.6. Основанием наклонного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см. Боковое ребро равное см наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найдите объем параллелепипеда.

1.7. Вычислите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если два ребра и диагональ, исходящие из одной вершины, равны соответственно 11 см, см и 13 см.

1.8. Определите вес каменной колонны, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, с размерами 0,3 м, 0,3 м и 2,5 м, если удельный вес материала равен 2,2 г/см 3 .

1.9. Найдите площадь диагонального сечения куба, если диагональ его грани равна дм.

1.10. Найдите объем куба, если расстояние между двумя его вершинами, не лежащими в одной грани, равно см.

II уровень

2.1. Основанием наклонной призмы является равносторонний треугольник со стороной см. Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30°. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и высоту призмы, если известно, что одна из вершин верхнего основания проектируется на середину стороны нижнего основания.

2.2. Основанием наклонной призмы является равносторонний треугольник ABC со стороной равной 3 см. Вершина A 1 проектируется в центр треугольника ABC. Ребро AA 1 составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

2.3. Вычислите объем наклонной треугольной призмы, если стороны основания 7 см, 5 см и 8 см, а высота призмы равна меньшей высоте треугольника-основания.

2.4. Диагональ правильной четырехугольной призмы наклонена к боковой грани под углом 30°. Найдите угол наклона к плоскости основания.

2.5. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция, основания которой равны 4 см и 14 см, а диагональ – 15 см. Две боковые грани призмы – квадраты. Найдите площадь полной поверхности призмы.

2.6. Диагонали правильной шестиугольной призмы равны 19см и 21 см. Найдите ее объем.

2.7. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда, у которого диагональ равна 8 дм, и она образует с боковыми гранями углы 30° и 40°.

2.8. Диагонали основания прямого параллелепипеда равны 34 см и 38 см, а площади боковых граней 800 см 2 и 1200 см 2 . Найдите объем параллелепипеда.

2.9. Определите объем прямоугольного параллелепипеда, в котором диагонали боковых граней, выходящие из одной вершины, равны 4 см и 5 см и образуют угол в 60°.

2.10. Найдите объем куба, если расстояние от его диагонали до непересекающегося с ней ребра равно мм.

III уровень

3.1. В правильной треугольной призме проведено сечение через сторону основания и середину противоположного бокового ребра. Площадь основания 18 см 2 , а диагональ боковой грани наклонена к основанию под углом 60°. Найдите площадь сечения.

3.2. В основании призмы лежит квадрат ABCD, все вершины которого равноудалены от вершины A 1 верхнего основания. Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 60°. Сторона основания 12 см. Постройте сечение призмы плоскостью, проходя через вершину C, перпендикулярно ребру AA 1 и найти его площадь.

3.3. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция. Площадь диагонального сечения и площади параллельных боковых граней соответственно равны 320 см 2 , 176 см 2 и 336 см 2 . Найдите площадь боковой поверхности призмы.

3.4. Площадь основания прямой треугольной призмы равна 9см 2 , площади боковых граней 18 см 2 , 20 см 2 и 34 см 2 . Найдите объем призмы.

3.5. Найдите диагонали прямоугольного параллелепипеда, зная, что диагонали его граней равны 11 см, 19 см и 20 см.

3.6. Углы, образованные диагональю основания прямоугольного параллелепипеда со стороной основания и диагональю параллелепипеда, равны соответственно a и b. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если его диагональ равна d.

3.7. Площадь того сечения куба, которое представляет собой правильный шестиугольник, равна см 2 . Найдите площадь поверхности куба.